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O Bizarro Paradoxo do Aniversário

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Vendo algumas pessoas em uma sala, te pergunto: - Qual a probabilidade de duas delas terem nascido no mesmo dia? Essa pergunta remete ao paradoxo do aniversário.

Te afirmo desde já, que em um grupo de 23 (ou mais) pessoas, a probabilidade de que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia é maior que 50%.


Veja a explicação passo a passo, com base em um raciocínio excludente que acho natural seguir



Então ... vamos começar!

Para simplificar um pouco a situação, não considero a possibilidade de que um ano possa ser um ano bissexto. Vamos considerar um ano de 365 dias como referência. No entanto, se você quiser ser mais preciso, você pode resolver o paradoxo do aniversário, mesmo considerando a possibilidade de ano bissexto, não será tão mais complicado.

O primeiro número que facilmente pulou em sua mente é 366. De fato, se houver 366 pessoas, com 365 aniversários disponíveis, dois deles certamente nasceram no mesmo dia. No entanto, aqui estamos enfrentando uma probabilidade de que o evento ocorra, que é 100%. O problema nos diz para encontrar o número suficiente para ter uma probabilidade maior que 50%.

Então vamos começar a fazer alguns cortes no número de pessoas ...

Para evitar se perder em contas desnecessárias, aproximo-me um pouco da solução, sem contar o resultado final. Vai parecer estranho, mas com apenas 57 pessoas, você já tem 99% de probabilidade, de que 2 pessoas tenham nascido no mesmo dia. Estranho, certo? É chamado um paradoxo de aniversário para algo.

No entanto, para ter um pouco mais de 50% de chance, muitos menos integrantes são suficientes... Mas agora chegamos ao raciocínio matemático a seguir para chegar à solução. Há, de fato, um pequeno truque a seguir: não pensar na pessoa sozinha, mas raciocinar em pares. Na verdade, não estamos interessados ​​em que dia os sozinhos nasceram, estamos interessados ​​no fato de que dois deles nasceram no mesmo dia.

Portanto, começamos a considerar o número de casais possíveis com a quantidade de pessoas presentes.

Vamos começar do caso onde há três pessoas, digamos que sejam P1, P2, P3. Os pares possíveis são, portanto, (P1, P2), (P1, P3) e (P2, P3). Agora, com um raciocínio semelhante, pode-se dizer que, com 4 pessoas (P1, P2, P3, P4), um máximo de 6 pares pode ser formado. Se você ainda não percebeu, pode encontrar o número de pares possíveis aplicando uma fórmula simples, que envolve o uso do fatorial (!).

Fórmula do Paradoxo do Aniversário
Crédito: Wikipedia

Agora tente calcular quantos pares são possíveis com 57 pessoas ... Agora você começa a parecer um pouco mais plausível que com 57 pessoas há quase a certeza de que dois nasceram no mesmo dia? Mas finalmente chegamos aos últimos passos, aqueles que nos levarão ao resultado exato.

Agora se torna um fato de cálculos puros, na verdade, a estratégia a ser adotada já expliquei. Você basicamente tem que começar com um casal, continuar adicionando pessoas e ver como a probabilidade muda. No entanto, há um último conselho que posso lhe dar. Eu não aconselho você a verificar a probabilidade de compartilhar um aniversário, mas eu sugiro que você calcule a probabilidade de cada nova pessoa ter um aniversário diferente daqueles que já estão presentes.

Ao resumir o raciocínio, então, com três pessoas, há uma probabilidade de 99,18% de que esses três tenham nascido em dias diferentes.

Procedendo da mesma forma, adicionando pessoas, talvez evitando fazer muitas contas por nada (então tentando adicionar 4-5 pessoas a cada vez), você deve encontrar o número de pessoas suficientes para ter uma probabilidade maior que 50% de que duas delas nasceram no mesmo dia.

tabela, Paradoxo do Aniversário
Crédito: Wikipedia

Das contas, deve-se descobrir que 23 pessoas são necessárias para obter 50% mais chances. De fato, multiplicando as primeiras 23 frações (representando a probabilidade de que o evento não ocorra), como já fizemos antes, chegamos a dizer que com 23 frações o produto é 0,507. Ou seja, com 23 pessoas, há uma probabilidade de 50,7% de que duas tenham nascido no mesmo dia.



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